在日常的数学教学中，我们的学生用墨斗体验点动成线，用椭圆规浪漫地认识椭圆，用日晷、滴漏认识时间，用激光测距仪、测距测亩轮、手机软件、测绳、直尺甚至身体去认识长度。
可以看到，在学生学习长度的过程中，浓缩融合了人类的整个测量史，了解了测量的演进和文化，所依靠的就是这几种学具，而在我们学校的全景数学体验馆中，万物皆可为学具，当然也包括我们的老师。
突破传统学具认识和使用的天花板
(相关资料图)
我们努力让每个知识点都可体验、可操作、可躬行、可六觉，突破“颈上数学”的窘境，真正实现了具身地学、全身心地学。当学生使用完这么多的学具，也就在一定程度上，涵养好了学生各方面的动手能力和行动的素养。
这根纸条是每一届学生一开学都会“动一动”的学具，它的背后是我们对学习内容的突破，是创编的1-6年级的非传统数学。
一开始，我让孩子们把纸的两端接起来，形成一个圈，大家都折成了一个圈。接着，我启发学生，就像纸圈一样，可以正着接也可以反着接，所以凡事都可以正着做一做，反着做一做，正着想一想，反着想一想，很多事一旦反过来做，反过来想，可能就有不一样的结果和发现。就像这个纸圈，正着接的圈剪开是两个圈，反着接的圈剪开竟成了一个圈，孩子们在倍感震撼和惊奇的同时，也启迪了他们对数学的兴趣。
通过学具的演示，我告诉大家，很多事情，不能只顾着急着做，要适时地暂停下来，从头回顾、记录、反思实验的过程，总结下经验再继续。例如数学的猜想，先实验再记录，然后从头观察找到规律，最后按规律去猜想。我们启蒙了孩子追问、联想、猜想的意识，还在无形之中给孩子们讲述了非欧几何的内容，让他们认识了空间图形，更看见了数学的另外一张面孔，高度激发了学生的兴趣和好奇心，超越了数学涵养，乃至以后生活、工作都不可或缺的通用素养。
这正是我们一直主张和践行的数学教育，一定不止于数学。教师每一节课都应去思考，除了数学，还可以让孩子获得哪些可迁移的，超越数学的通用素养，实现学生超越学科的成长？
打破"视听学、纸上学、学纸上"的
天花板
我们提倡数学教育的“生活实验”是指让学生在自己真实的生活情境中，以生活本来的样子真实地生活，真实地去做真实的事儿，真实地经历生活的实际，解决真实的生活问题，获得真实生活能力和生活经验，真的能做成事儿，并自然地习得相应的知识、技能和必备的核心素养！我以南京赫贤学校学生刚刚做过的“我来分饼”和“我定柜位”两个典型的“生活实验”来介绍一下我们的教学设计、实施及反思。
我来分饼——浪漫认识分数的“生活实验”的设计与实施7个一样的 饼平均分给8个人，你会怎么分呢？
我调查过20多位老师（其中，小学数学特级教师2人，中学特级教师兼校长1人）、3位国家教育媒体记者、2位我们学校打扫卫生的阿姨、还有我一位徒弟的妈妈（居家主妇）。打扫卫生的阿姨、家庭主妇给的分配方案完全不同，而老师给出的大都是如下两种分配方案：一是把每个饼平均分成8等份，一共分成了56等份，每个人取其中7份；二是8个摞在一起，平均切成8等分，8个饼摞在一起，接近20厘米厚，用刀平均分成8份根本不现实。
调查完后，我回到班里，组织二年级两个班的孩子分别进行了生活实验。之所以称之为生活实验，而不是教学，因为，我们是真的拿了真的饼，真的给孩子，让孩子们真实操作，自己去分、取到属于自己的饼。它就是活生生的真实生活，做真真切切的事儿。
此时，二年级的孩子刚刚学习完表内乘法，还没学过除法。我把孩子每8人一个小组，每个小组一个操作台。每个操作台上有一个大菜板，一把刀，7个白面饼，10余副卫生手套。一开始，先明确他们要做的事儿：张老师老家在山东，给你们带来一些山东面饼，但因饼的数量有限，张老师一合计，你们每组分7个饼刚好够分。现在你们要想办法把7个饼平均分给小组里的8个人，分配好后，可以带回家和家人一起分享。
要做的事儿明确后，我就在旁边欣赏、激励、提醒注意用刀安全和卫生，至于怎么分， 完全放手让孩子自己去尝试和研究。经过尝试、分析和讨论，5组孩子一共给出了以下四种分饼方案。
第1种：每个饼平均分成8份，每人分得7小块。
第2种：把其中6个饼平均分成4份，一共分24大块，剩下的一个平均分成8小块，每人分得3大块和1小块。
第3种：把其中4个饼平均分成2份，一共分8大块，剩下的3个都平均分成8小块，一共分成24小块，每人分得1大块和3小块。
第4种：把其中4个饼平均分成2份，一共分8大块，把其中2个饼都平均分成4份，一共分8中块，剩下的1个平均分成8小块，每人分得1大块、1中块和1小块。
在分法的分享交流中，最后孩子们一致选择最后一种分法。因为他们认为这种分法又省事（切的刀数少）、切掉的渣最少、块数也最少、拿到手的饼更整、更方便、看着也更舒服……
南京赫贤学校的学生在分饼
原来，学校打扫卫生的阿姨和我徒弟妈妈（家庭主妇）的分法，就是二年级孩子发现并最终选择的分饼方案：先分4个，每人1/2个；再分2个，每人1/4个，最后一个8等分，每人1/8个。
还没学除法的二年级孩子、打扫卫生的阿姨和家庭主妇竟然给出了比老师们更合理、更生活、更现实的分法。这种最生活的分法其实就是7/8=1/2+1/4+1/8，这正是印度分数都写成分子是1的分数之和的根源和依据。
后来，我把二年级的分法转达给了我前期调查的数学老师们，那位参与调查的初中数学特级校长发出这样的感慨：“（我）变成2年级了，知识越多似乎越笨了。”徒弟的妈妈也对徒弟感叹到：“哎，到底不是做事的人，想的都是数学方法。”
原来，数学真的不等于生活，做题真的不等于做事，解决数学问题的能力根本不等于解决实际问题的能力。而我们数学教育所有课程和教学都应该更多地指向生活、指向了做事、指向了真题解决。
我定柜位——行列和数对“生活实验”的设计与实施针对行列和数对的学习，我们设计了一系列游戏。
（1）让孩子自己扎气球，记住自己扎破的气球的列与行，并用数对记录（就是自己的幸运奖位置）；
（2）根据自己记录的数对，在大橱子上找到相应的位置，取出自己幸运奖品；
（3）学生角色扮演：新上岗的司药，为自己编制抓药的索引。
一开始，学生做的索引是数对+药名，如：（1，1）地肤子 ，（1，2）茯苓 ，（1，3）冬瓜子……在模拟实际找药时，发现这样编根本不能用，还不如直接找呢，这就是典型的数学都会，用的也对，就是解决不了实际问题。经过讨论，学生们决定改用药材首字首字母+数对的方式作为索引，再操作时他们发现数对起作用了。
而面对首字首字母相同的药材，学生们又发明了首字首字母+次字首字母+数对的方式来解决问题。
有的学生还发现了这样的现实和问题：有的药店的药柜，每个抽屉左、右两边装着不同药。学生针对此种情况，又发明了“字母+数对+◐或◑”的索引……
如此这般，学生在类似的“数学教育系统进阶的生活实验”中，凡事总能多想一点，多看一段，更进一步，边学边用，边用边学，学后续用，解决实际问题的能力和素养逐步地、进阶地走向全面、完整、扎实、深刻、灵活、创新……我们数学教育中的“数学生活实验”不仅仅是一般意义上的动手操作，而是动真格的——是“做真事、真做事”的行动，是老师和学生一起过美好的数学生活，做美好、真实的事儿，而且在学会做事儿的同时自然地就学会了相应的知识，毓养了相应的数学核心素养。一如杜威所言：教育是给学生一些事情去做，不是给他们一些东西去学，结果他们自然地就学到了东西。
其实不仅仅是数学，其他各科亦如此。如果学校课程和教学更多地“生活实验化”（在真实的生活中真实经历，获得实际的生活经验），就可以在更大程度上打破“视听学、纸上学、学纸上；会做题，不会做事，会解决数学题，不会解决实际问题，高分低能”的学习困局和怪圈。
比如，我们在操场奔跑中研究“速度”，在马路上走出“里和千米”，瓶瓶罐罐中品尝出“分数和倍”的味道，在承包的菜地里解决“垄数、肥料、种子、覆膜”等真题，在餐厅里完成最受欢迎美食的统计，在公园里断“方向与位置”，在校园里解决真实的周长和面积，在间隔遍布的中庭和马路边解决植树问题等。原来课堂完全可以有另一种样子，可以有第2空间，第3空间……第n空间。
南京赫贤学校的学生在菜地里解决真实问题
我们以天地为课堂，以万物为学材，胸怀天下，格物致知，知行合一，这本身就是最接地气的方式，好的习惯，高的境界和素养。
我们还挖空心思，千方百计打破数学学习情感和心理的天花板，更多地创生各种计算的游戏和活动。让孩子玩加法器，玩数学飞行棋……
南京赫贤学校的学生通过“加·乘五子棋”进行学习
大家可能会说，那他玩几次不就腻了吗？是啊，教师打心底就得悦纳一个现实，小孩子就是爱变的，所以我们要先于孩子做出改变，以万变应万变。不断开发各种数学学具、游戏，让学生热血沸腾，乐此不疲，玩得开心，玩得快乐！
我们深知，兴趣、好奇心、热爱、信心，这些健康的情感和心理是学习，也是做好任何事情最重要的基础和根本。回到主题，老师还需要捅破什么天花板呢？我们认为，不单单是老师要捅破天花板，更重要的是，我们用心、用爱和信仰引导孩子们自己动手，不断地捅破各种天花板，让孩子自己看见更广阔的天空，更丰富的世界，看见更远的山。
作者 | 张宏伟（特级教师，北京全景式数学研究中心主任、南京赫贤学校学术总监）
来源| 文章据作者在第九届中国教育创新年会主论坛主题演讲整理
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