题型一：利用勾股定理求线段长
如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．
(资料图片)
解：如图，连接BD.
∵等腰直角三角形ABC中，点D为AC边的中点，
∴BD⊥AC，BD平分∠ABC(等腰三角形三线合一)，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，又易知∠C＝45°，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠C.∴BD＝CD.
∵DE⊥DF，BD⊥AC，∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF.
∴∠FDC＝∠EDB.
在△EDB与△FDC中，
∠ EDB= ∠ C
BD= CD
∠ EDB= FDC
∴△EDB≌△FDC(ASA)，
∴BE＝FC＝3.∴AB＝7，则BC＝7.∴BF＝4.
在Rt△EBF中，EF2＝BE2＋BF2＝32＋42＝25，∴EF＝5.
题型二：利用勾股定理作长为的线段
已知线段a，作长为√13a的线段时，只要分别以长为2a和3a的线段为直角边作直角三角形，则这个直角三角形的斜边长就为 √13a.
题型三：利用勾股定理证明线段相等
如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，
AD2＝2AB2－CD2.求证：AB＝BC.
证明：∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形．
由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2.
又∵AD2＝2AB2－CD2，
∴AD2＋CD2＝2AB2.
∴AC2＝2AB2.
∵∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．
由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，
∴AB2＋BC2＝2AB2，
故BC2＝AB2，即AB＝BC.
题型四：利用勾股定理证明线段之间的平方关系
如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P. 求证：BP2＝BC2＋AP2.
证明：如图，连接BM.
∵PM⊥AB，
∴△BMP和△AMP均为直角三角形．
∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.
同理可得BC2＋CM2＝BM2.
∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.
又∵CM＝AM，
∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.
∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.
∴BP2＝BC2＋AP2.
题型五：利用勾股定理解非直角三角形问题
如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10.求BC的长．
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∴∠ADC＝90°.又∵∠C＝60°，
∴∠CAD＝90°－∠C＝30°，
∴CD＝1/2AC＝5.
∴在Rt△ACD中，
AD＝＝＝5.
∴在Rt△ABD中，BD＝＝11.
∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.
题型六：利用勾股定理解实际生活中的应用
在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高
行驶速度不能超过60 km/h，并在离该公路100 m处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．另外一条公路在y轴上，AO为其中的一段．
(1)求点B和点C的坐标；
(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15 s，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速．(参考数据：≈1.7)
解：∵BC＝BO＋CO＝(100＋100)m，
100＋100/15 ≈18>50/3，
∴这辆汽车超速了．
题型七：利用勾股定理探究动点问题
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)求BC边的长；
解：在Rt△ABC中，
BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，
∴BC＝4 cm.
(2)当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝25/4.
(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值．
解：①如图①，当BP＝AB时，t＝5；
②如图②，当AB＝AP时，BP＝2BC＝8 cm，t＝8；
③如图③，当BP＝AP时，AP＝BP＝t cm，CP＝|t－4|cm，AC＝3 cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2，所以t2＝32＋(t－4)2，解得t＝25/8
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，
t＝5或t＝8或t＝25/8.
end
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