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知识引导
多者合作研究的是多个主体通过一定的方式合作完工的一类问题。特点为有多个主体完成同一项工作，所以效率一般为多个主体的效率之和。
【资料图】
解题原则
解决多者合作，关键在于梳理题干描述的不同合作方式，可适当结合题干信息将未知量设为特值，来简化运算。不同题型对应设不同的量为特值，再结合工程问题的基本公式，那么多者合作问题便可以迅速解决。
解题思路
一、已知不同主体完成同一项工程所用的时间，设工作总量为“1”或者为完工时间的公倍数
二、已知各个主体之间的效率比，按最简比设效率为特值
三、已知多个主体的效率相同时，设每个主体单位效率为1
练习题
例1
一项工程，甲单独做要10天，乙单独做要15天。若甲乙合作，需要多少天?
A.4 B.5 C.6 D.7
【中公解析】C。题干已知多个主体完工时间，可设工作总量为完工时间的公倍数，而为了计算得更加简便，一般设为最小公倍数。由题目已知，甲乙各自的完工时间，那么就设工作总量为10和15的最小公倍数，也就是30。通过公式：工作效率=工作总量÷工作时间，从而得到甲的效率是3，乙的效率是2。最终求合作所需时间，直接用工作总量÷合作工作效率和，即30÷(2+3)=6天，选C。
例2
甲、乙两队完成一项工程的效率比为2∶5。该项工程，若由甲工程队先单独做3天，再由乙工程队单独做4天，最后由甲、乙两个工程队合作6天刚好完成。问若由甲工程队单独完成，需要多少天?
A.30 B.32 C.34 D.36
【中公解析】C。题目直接给了甲乙的效率之比，已知多个主体效率关系时，一般可将效率最简比设为各自的效率，也就是甲的效率是2，乙的效率是5。这道题最终求这项工程由甲工程队单独完成的时间，已知甲工程队的效率，还需知道这项工程的工作总量。梳理一下题干所给的工作方式。甲工程队单独做3天，再由乙工程队单独做4天，最后甲乙两个工程队合作6天刚好完成，所以工程的工作总量为：3×2+4×5+6×(2+5)=68，最终甲工程队单独做所需的时间为68÷2=34天，选C。
例3
有一批工人进行某项工程，每个人的工作效率相同。如果能再调来8个人，10天就能完成;如果能再调来3个人就要20天才能完成。现在只能再调来2个人，那么完成这项工程需要多少天?
A.20 B.22 C.25 D.30
【中公解析】C。设每个人的效率为1，原来有x个工人，所求为t天，则有(x+8)×10=(x+3)×20=(x+2)×t，解得x=2，t=25，选择C。
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